Milk 的个人博客

目录#

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• 1. 引言：一次教学实验
• 2. 皮亚诺公理下的加法交换律
  • 2.1. 皮亚诺公理简介
  • 2.2. 加法的递归定义
  • 2.3. 加法交换律的归纳证明
• 3. 序数与基数：自然数的两种身份
  • 3.1. 皮亚诺体系定义的是序数
  • 3.2. 集合论定义的是基数
  • 3.3. 同一个等式，两种”显然”
• 4. 直觉来自哪里？
  • 4.1. 经验视角：直觉来自重复操作
  • 4.2. 形式视角：习惯伪装成理解
  • 4.3. 认知视角：儿童的”相等”不是成人的”相等”
• 5. 当乘号走入语义：3×8 与 8×3
  • 5.1. 纯数学中的 ×：对标量乘法，交换成立
  • 5.2. 语义中的 ×：语言结构的不对称
  • 5.3. 现实建模中的 ×：结构信息的载体
  • 5.4. 小结：三种不同的 ”=”
• 6. 教育实践：教考可以分离
  • 6.1. 教：可以区分，这是一种启发
  • 6.2. 考：不宜扣分，那是一种伤害
• 7. 结语
• 附录
  • 附录 A. 加法交换律的完整形式化证明
• 参考文献

1. 引言：一次教学实验#

去年看到漫士沉思录发了个视频：《到底该不该区分 3×8 和 8×3？》

没记错的话当时是最新的小学教材要求，之后大家写乘法，必须注意前后的顺序，引起了广泛的讨论。

借此话题，我发表了一段评论，事实上，我发这条评论的目的正是为了引出更多的讨论，但是没想到居然吸引了这么多人，甚至这次讨论的氛围成了我在 BiliBili 到目前为止感受到最好的一次。那不整理一下就太可惜了。

我用我上小学的弟弟做了个实验：

我先教他，假设有一种新的运算，用 $+$ 表示，$0^{+} = 1$，$1^{+} = 2$，$2^{+} = 3$，$1^{++} = (1^{+})^{+} = 2^{+} = 3$（其实是皮亚诺算数定义的后继运算）…

介绍完后我问他：你猜一下，$x$ 进行了 $y$ 次 $+$，和 $y$ 进行了 $x$ 次 $⁺$，结果一样吗？他说：“应该不一样吧？”。

然后我又说：你看，你以前做加法还要掰手指头的时候，算 $2 + 3$，是不是先摆出 $2$，然后一根根手指叠上去，每次变大 $1$，然后进行 $3$ 次？

然后又让他对加法和我刚才提出的运算计算结果进行对比，他恍然大悟，原来这个就是加法，他说，那肯定是相等的，因为加法交换律。

我对此的看法是：加法交换律事实上也并不显然，问很多人加法为什么可以左右互换，他们会说：“这是加法交换律啊，不是显然的吗？”，但是进一步问：“那为什么加法交换律成立呢？”，他们可能会说：“这还要证明？”。所以很多时候，我们并不是理解了加法交换律为什么成立，而是习惯了它总是成立。

无论是从 $+$ 定义本身语义上的不对称性，还是掰手指操作上的不对称性，加法的交换律反而显得奇怪。从这点来看，保持乘法的先后顺序，反而有利于理解乘法这个动作。

但是问题是，在教学上，这么教没问题，但是在评分上如果作为扣分点，那就不太合适了。

诚然，现在回想起来，正如评论区后来的批评所言，这个实验事实上我犯了一些错误：

1. 我预设了“加法交换律不显然”的结论而引导弟弟，有点“先射箭后画靶”了。
2. 我没有区分清楚几个因素：他到底是没理解后继运算，还是没理解字母变量，还是被语言表达中的不对称性影响了判断。

不过，本文并不会完全聚焦于这件事，而是试图从数学的视角，重新认识一下加法交换律。

2. 皮亚诺公理下的加法交换律#

3. 序数与基数：自然数的两种身份#

4. 直觉来自哪里？#

5. 当乘号走入语义：3×8 与 8×3#

6. 教育实践：教考可以分离#

7. 结语#

附录#

参考文献#