关于数学的一些有趣讨论（二：反直觉现象）

TIP
本文是关于数学的一些有趣讨论（一：圆周率）的续篇，主要讨论数学中的反直觉现象。

关于数学中反直觉现象的探讨，同样来自于之前的这个话题。

当时我正在向其他人科普第一部分中所述的内容，当然也收到了一些反驳。对于这种需要严谨性的场合，我并不讨厌反驳。但是，很多人在反驳的时候，不是靠眼睛的推导，而是依赖于自己的直觉。直觉在日常生活中非常有效，但在数学的抽象世界里，它却有时会误导我们。例如，直觉可能会让人认为某些看似简单的命题必然成立，或者认为某些极端情况不可能发生，但严格证明往往显示结果完全相反。以下我会举几个例子（尽管未必和 $\pi$ 有关）。

目录#

目录
1. Borwein 积分
2. 下次再写
附录
- 附录 A. 绘制傅立叶变换的 Python 代码

1. Borwein 积分#

这个相关的内容，其实 3blue1brown（Youtube、Bilibili）已经讲的很明白了，所以我写这部分主要是验证自己的学习情况，详情可以参考这个视频：

强烈推荐 3Blue1Brown，他的科普清晰明了，可视化也很好。

Borwein 积分是指：

I_n = \int_{-\infty}^{\infty} \prod\limits_{k=1}^n \frac{\sin(\frac{x}{2k-1})}{\frac{x}{2k-1}} \, dx

NOTE
准确来说，积分上下限带有 $\pm \infty$ 的反常积分上下限应该用 $\lim_{a \to \infty}$ 来表示，但为了方便，我们直接用 $\infty$ 。这一点不严谨我们暂时忽略。

1.1. I1#

首先，我们来看 $I_1$ ：

I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx

I1 被积函数的图像

I1 的结果

我们先用初等方法（这里指的是不使用高级工具）来推导这个积分，用作微积分练习题。同时也留个悬念，否则容易直接看出来。

注意到， $\frac{\sin x}{x}$ 是一个偶函数，所以：

I_1 = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx

定义：

\begin{aligned} I(\alpha) &= \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-\alpha x} \, dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x - \sin(0)}{x} e^{-\alpha x} \, dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_0^1 \cos(tx) \, dt \, e^{-\alpha x} \, dx \\ &= \int_0^1 \int_{0}^{\infty} \cos(tx) e^{-\alpha x} \, dx \, dt \end{aligned}

接下来，就是经典的分部积分，令：

\begin{aligned} J &= \int \cos(tx) e^{-\alpha x} \, dx \\ &= - \frac{1}{\alpha} \int \cos(tx) \, de^{-\alpha x} \\ &= - \frac{1}{\alpha} \left[ \cos(tx) e^{-\alpha x} - \int e^{-\alpha x} \cos(tx) \right] \\ &= - \frac{1}{\alpha} \left[ \cos(tx) e^{-\alpha x} + t \int \sin(tx) e^{-\alpha x} \, dx \right] \\ \end{aligned}

同样，令：

\begin{aligned} K &= \int \sin(tx) e^{-\alpha x} \, dx \\ &= - \frac{1}{\alpha} \int \sin(tx) \, de^{-\alpha x} \\ &= - \frac{1}{\alpha} \left[ \sin(tx) e^{-\alpha x} - \int e^{-\alpha x} \sin(tx) \right] \\ &= - \frac{1}{\alpha} \left[ \sin(tx) e^{-\alpha x} - t \int \cos(tx) e^{-\alpha x} \, dx \right] \\ \end{aligned}

于是有：

J = - \frac{1}{\alpha} \left[ \cos(tx) e^{-\alpha x} + \frac{t}{\alpha} \left( \sin(tx) e^{-\alpha x} + t J \right) \right]

解得：

J = \frac{-t \sin(tx) e^{-\alpha x} - \alpha \cos(tx) e^{-\alpha x}}{\alpha^2 + t^2}

代入上下限：

\int_{0}^{\infty} \cos(tx) e^{-\alpha x} \, dx = \frac{\alpha}{\alpha^2 + t^2}

回代：

\begin{aligned} I(\alpha) &= \int_0^1 \int_{0}^{\infty} \cos(tx) e^{-\alpha x} \, dx \, dt \\ &= \int_0^1 \frac{\alpha}{\alpha^2 + t^2} \, dt \\ &= \arctan(\frac{1}{\alpha}) \end{aligned}

取极限 $\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha)$ ：

\lim_{\alpha \to 0} I(\alpha) = \frac{\pi}{2}

所以：

I_1 = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \pi

这就是著名的 Dirichlet 积分。

1.2. 其他 I 的值#

总而言之，Borwein 积分的前面几项是：

\begin{cases} I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \pi \\ I_2 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \pi \\ I_3 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \pi \\ \cdots \\ I_7 = \pi \end{cases}

1.3. 规律？#

看到这里，你是否认为你发现了一个伟大的规律：

I_n = \int_{-\infty}^{\infty} \prod\limits_{k=1}^n \frac{\sin(\frac{x}{2k-1})}{\frac{x}{2k-1}} \, dx = \pi

然而，事实上， $I_8 \ne \pi$ …

1.4. 解释#

事实上，这和傅立叶变换有关。

$\frac{\sin(Wt)}{\pi t}$ 是一个著名的函数，被称为 \sinc 函数，经常被用来做理想滤波器，它的傅立叶变换是：

\mathcal{F} \left\{ \frac{\sin(Wt)}{\pi t} \right\} = X(j \omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| < W \\ 0, & |\omega| > W \end{cases}

由傅立叶变换的线性性质，我们有：

\mathcal{F} \left\{ \frac{\sin(\frac{x}{2k - 1})}{\frac{x}{2k-1}} \right\} = \begin{cases} (2k-1) \pi, & |\omega| < \frac{1}{2k-1} \\ 0, & |\omega| > \frac{1}{2k-1} \end{cases}

傅立叶变换示意图

绘图代码见附录 A: 绘制傅立叶变换的 Python 代码。

令被积函数 $g_n(x) = \prod\limits_{k=1}^n \frac{\sin(\frac{x}{2k-1})}{\frac{x}{2k-1}}$ ，则 $g_1(x) = \frac{\sin x}{x}$ ， $g_{n + 1}(x) = g_n(x) \cdot \frac{\sin(\frac{x}{2n + 1})}{\frac{x}{2n + 1}}$ 。

傅立叶变换的乘积性质：

\mathcal{F}\left\{ x(t) \cdot y(t) \right\} = \frac{1}{2 \pi} X(j \omega) * Y(j \omega)

这里的 $*$ 表示卷积： $X(j \omega) * Y(j \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} X(j (\omega - \theta)) Y(j \theta) \, d\theta$ 。

令 $\mathcal{F} \left\{ g_n(x) \right\} = G_n(j \omega)$ ，于是：

G_{n+1}(j \omega) = \frac{1}{2 \pi} \cdot G_n(j \omega) * \mathcal{F} \left\{ \frac{\sin(\frac{x}{2n + 1})}{\frac{x}{2n + 1}} \right\}

用以下示意图让人更容易理解（卷积结果在 $t$ 的取值和图中阴影面积成正比）：

卷积示意图

可以明显看到，卷积结果在两个方形区域充分重叠的时候始终保持不变。

卷积结果

对于这一次卷积，这个不变的值就是 $r_{2} = \frac{1}{2\pi} \cdot \pi \cdot 3\pi \cdot \frac{2}{3} = \pi$ 。而这个值保持不变的区间长度（由于对称性，只考虑大于 0 的部分）就是 $l_{2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ 。

卷积示意图

卷积结果

如果继续进行卷积，上一次不变的值是 $r_{n} = \pi$ ，那么下一次就是 $r_{n+1} = \frac{1}{2\pi} \cdot \pi \cdot (2n + 1)\pi \frac{2}{2n + 1} = \pi$ ，而区间长度是 $l_{n+1} = l_n - \frac{1}{2n + 1}$ ，所以只要 $l_n > 0$ ， $r_n$ 就一定是 $\pi$ ，而 $l_n < 0$ 时，不存在一个保持不变的区间。

另外注意到一件事：无论这个不变区间多长， $0$ 总是在这个区间内，所以，只要 $l_n > 0$ ， $G_{n+1}(0) = \pi$ 。

而傅立叶变换的表达式：

X(j \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \, dt

代入 $0$ 就会发现， $X(0) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \, dt$ ，也就是原函数的积分，也就是 $I_n$ 。

也就是说，我们得到了结论：只要 $l_n > 0$ ， $I_n = \pi$ 。

下面列出 $l_n$ 的值：

$i$	递推计算式	$l_i$
1	已知	$1.000000$
2	$1 - \frac{1}{3}$	$0.666667$
3	$0.666667 - \frac{1}{5}$	$0.466667$
4	$0.466667 - \frac{1}{7}$	$0.323810$
5	$0.323810 - \frac{1}{9}$	$0.212699$
6	$0.212699 - \frac{1}{11}$	$0.121790$
7	$0.121790 - \frac{1}{13}$	$0.045998$
8	$0.045998 - \frac{1}{15}$	$-0.020669$

正好在 $I_8$ 时， $0.045998 - \frac{1}{15} < 0$ ，所以 $I_8 \ne \pi$ ，而 $I_1, I_2, \dots, I_7 = \pi$ ！

2. 下次再写#

附录#

附录 A. 绘制傅立叶变换的 Python 代码#

1
import matplotlib.pyplot as plt
2
import numpy as np
3

4
# macOS 可用字体
5
plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["Songti SC"]  # 显示中文
6

7
# Windows 可用字体
8
# plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']    # 显示中文
9

10
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 显示负号
11

12

13
# 参数
14
k = 3
15
W = 1 / (2 * k - 1)
16
n = 40000
17
x_max = 100
18
x = np.linspace(-x_max, x_max, n)
19
dx = x[1] - x[0]
20

21
# 连续函数
22
y = np.sinc(x / np.pi / (2 * k - 1))
23

24
# 数值近似 CTFT
25
omega = np.linspace(-1, 1, 2000)
26
F = np.array([np.sum(y * np.exp(-1j * w * x)) * dx for w in omega])
27

28
# 理论矩形谱
29
theory = np.zeros_like(omega)
30
theory[np.abs(omega) < W] = (2 * k - 1) * np.pi
31

32
# 绘图
33
plt.figure(figsize=(10, 4.5))
34

35
# 时域
36
plt.subplot(1, 2, 1)
37
plt.plot(x, y, "b")
38
plt.title(rf"$f(x)=\frac{{\sin(x/({2*k-1}))}}{{x/({2*k-1})}}$")
39
plt.xlabel("$x$")
40
plt.ylabel("$f(x)$")
41
plt.grid(True)
42

43
# 频域
44
plt.subplot(1, 2, 2)
45
plt.plot(omega, np.real(F), "r", label="数值 CTFT 结果")
46
plt.plot(omega, theory, "k--", label="理论结果")
47
plt.title("频谱对比")
48
plt.xlabel("$\\omega$")
49
plt.ylabel("$F(\\omega)$")
50
plt.xlim(-0.5, 0.5)
51
plt.legend()
52
plt.grid(True)
53

54
plt.tight_layout()
55
plt.show()

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1. Borwein 积分#

1.1. I1#

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1.4. 解释#

2. 下次再写#

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