Let me show you. π \pi π
看看。π \pi π π \pi π
NOTE 当然，其实这句话是错误的 ，或者说，是未证实的 （详细会在后文展开说明），但是很浪漫不是吗？
我突然想起一个不知道从哪里看见过的科幻小故事（虽然其实没什么关联性）：一天，一群外星人来到地球，它们被这里的风土人情所吸引，所以打算把地球上很多信息都记录下来带回去。于是，它们把信息编码成 n n n a 1 a 2 … a n ‾ \overline{a_1 a_2 \dots a_n} a 1 a 2 … a n α = 0. a 1 a 2 … a n ‾ \alpha = \overline{0.a_1 a_2 \dots a_n} α = 0. a 1 a 2 … a n 1 1 1 α \alpha α
接下来，我将首先针对一些在这个电视剧片段的视频的评论区中看到的有关圆周率的观点作出讨论，在这个过程中，我会忽略一些可能需要的前置知识，比如泰勒展开的推导 ，因为我认为这些知识对于讨论圆周率本身来说，并不是必要的。
1. 观点一：因为圆周率是无限不循环小数，所以它会出现所有数字组合# 这个观点是在初学者中非常常见的误区，纠正这个观点可以说几乎就是我当初进行关于圆周率的科普的初衷。
首先重新表述一下这个观点，他希望采用的经典三段论论证法：
前提：无限不循环小数中包含所有数字组合
条件：圆周率是无限不循环小数
结论：圆周率包含所有数字组合
那么，我们要说明他的论证方法有误，实际上只需要推翻前提即可。
1.1. 第一种反例# 显然，我们可以构造一个无限不循环小数：a = 0.1010010001000010 … a = 0.1010010001000010\ldots a = 0.1010010001000010 … 1 1 1 0 0 0 a = ∑ i = 1 ∞ 1 10 i ( i + 1 ) 2 a = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{10^{\frac{i(i + 1)}{2}}} a = i = 1 ∑ ∞ 1 0 2 i ( i + 1 ) 1 a a a a a a 1 1 1 a a a
1.2. 拓展：刘维儿数# 事实上，刚才那个反例的构造完全是为了方便对方理解，它其实只需要稍加改造，就可以得到刘维儿数：
a = 0.110001000000000000000001000 … = ∑ i = 1 ∞ 1 10 i ! a = 0.110001000000000000000001000\ldots = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{10^{i!}} a = 0.110001000000000000000001000 … = i = 1 ∑ ∞ 1 0 i ! 1 但是，这个数难道有什么特殊的吗？
事实上，这个数非常特殊，它是最早被证明出的超越数。
什么是超越数？简而言之，就是不能用整系数多项式表示的数，即不是代数数的数。譬如，任何有理数都可以表示为两个整数的比值，即 a = p q a = \frac{p}{q} a = q p q ∗ x − p = 0 q * x - p = 0 q ∗ x − p = 0 任意有理数都是代数数 。而反过来，方程 x 2 − 2 = 0 x^2 - 2 = 0 x 2 − 2 = 0 2 \sqrt{2} 2 2 \sqrt{2} 2 代数数是一个比有理数更广泛的数集 。
1.3. 第二种反例# 看完第一个反例，许多人会觉得，这个数太特殊了，而且人工构造的痕迹太重，所以不能作为反例。事实上只需要找到一个反例，不管是什么，就可以否定一个全称命题了，但是无所谓，因为其他反例也非常容易构造：将 π \pi π 9 9 9 0 0 0 b b b 9 9 9 b b b b b b
你可能注意到了，我这里并没有说 b b b ，尽管这看似非常显然，因为只要把 b b b 8 8 8 0 0 0 7 7 7 0 0 0 π \pi π 0 0 0
那么 b b b 我不知道 ！如果有人能证明或者推翻这个结论，也可以发给我让我观摩一下。
2. 观点二：根据无限猴子定律，圆周率总会出现所有数字组合# 这个观点实际上算的上“Not Even Wrong”了（原谅我用词可能比较重），因为无限猴子定律讲的是随机事件，而圆周率本身根本是一个确定的 数，这两个完全是不同的领域，所以，这个观点是错误的。
但是呢，这个观点其实也有迹可循，因为 π \pi π 0 0 0 9 9 9 Normal Number ，中文译文通常为“正规数 ”或者“正常数 ”，在后文 我会再次提到它，这里留个引子。但是这块内容的中文翻译其实十分混乱，比如另一个叫 Regular Number （正则数 ）的概念，有时也会被翻译成“正规数”。因此我后文尽量用英文来描述，以减少歧义。
3. 观点三：圆周率的所有数码的出现频率是均匀的，所以必然出现所有数字组合# 这个观点非常有意思。因为这已经越来越接近 Normal Number 的定义了（事实上就是 Simply Normal Number 的定义），所以，我们有必要先了解一下 Normal Number。
不过，在此之前，请允许我说一下收集资料过程中发现的一个有趣的事情
3.1. 百度百科词条：合取数# 很多人会在这种话题下提到“合取数”这个概念，事实上我一开始在评论区的科普也提到了这个名词，借着这个机会我也想更加具体的了解它，比如它是在哪篇论文中提出的？它的英文名字是什么？等等。
然而，当我查询这个词条的时候，却遇到了让我非常惊讶的事情：在合取数的百度百科词条 中，我竟然没有找到任何关于这个词的英文名或者文献，甚至于，这个词条连一个参考文献都没有？
我在词条讨论区提问也没有收到任何回复，经查，这个词条最早由一名名为 zistrong 的用户于 2014-12-18 编辑，而我在中文互联网上找到比较早的一篇是来自π里包含了所有可能的数字组合吗？ ，我写到这才发现，我正在做的内容十几年前就有人在干了（虽然本文还扩展了很多另外的东西）。它发布于 2014-12-17，和百度百科词条的创建时间只相差一天，不知道是不是巧合，另外，这篇文章声称自己转载自开源中国的一篇文章 ，但是这个链接我无法访问，于是考证到此结束了。
3.2. 拓展：Simply Normal Number 与 Normal Number# Simply Normal Number 是 Normal Number 的一个子集，它们的定义如下：
A real number is said to be simply normal in an integer base b b b 1 b \frac{1}{b} b 1 b b b n n n n n n b − n b^{-n} b − n
来源：HandWiki - Normal number
值得注意的是 HandWiki 在学术上并不是一个非常权威的网站。但是既然是科普，那么学术权威性就不一定那么重要了。
简单来说：如果某个数在某个进制下，它的每一位数码的出现频率都是 1 b \frac{1}{b} b 1 n n n n n n b − n b^{-n} b − n
用更加形式化的语言：
设 b b b 1 1 1 x x x b b b x x x s s s b b b N ( s , n ) N(s, n) N ( s , n ) s s s x x x n n n x x x b b b k k k s s s lim n → ∞ N ( s , n ) n = 1 b k \lim_{n \to \infty} \frac{N(s, n)}{n} = \frac{1}{b^k} lim n → ∞ n N ( s , n ) = b k 1
来源：百度百科 - 正规数
不难看出，只要 π \pi π
但是，这个观点的意思是：Simply Normal Number 中必然出现每一种数字组合。那下面我们先来否定这一点。
3.3. Simply Normal Number 是否必然包含所有数字组合？# 先说结论：不一定 。仍然通过我惯用的举反例。令 c = 0.012345678900112233445566778899000 … c = 0.012345678900112233445566778899000\ldots c = 0.012345678900112233445566778899000 … c c c 10 10 10 c c c
首先，我们计算 0 0 0 n n n 0 0 0 9 9 9 k k k 0 0 0 ∑ i = 1 k i = k ( k + 1 ) 2 \sum\limits_{i=1}^{k} i = \frac{k(k + 1)}{2} i = 1 ∑ k i = 2 k ( k + 1 ) ∑ i = 1 k 10 ⋅ i = 5 k ( k + 1 ) \sum\limits_{i=1}^{k} 10 \cdot i = 5k(k + 1) i = 1 ∑ k 10 ⋅ i = 5 k ( k + 1 ) 0 0 0 1 10 \frac{1}{10} 10 1 k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) 5 k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ≥ P 0 ≥ 1 10 \frac{\frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)}{5k(k + 1) + (k + 1)} \geq P_0 \geq \frac{1}{10} 5 k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) 2 k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ≥ P 0 ≥ 10 1 lim k → ∞ k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) 5 k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) = lim k → ∞ k + 1 10 k + 2 = 1 10 \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)}{5k(k + 1) + (k + 1)} = \lim_{k \to \infty} \frac{k + 1}{10k + 2} = \frac{1}{10} lim k → ∞ 5 k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) 2 k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) = lim k → ∞ 10 k + 2 k + 1 = 10 1 lim k → ∞ P 0 = 1 10 \lim_{k \to \infty} P_0 = \frac{1}{10} lim k → ∞ P 0 = 10 1
类似的，可以证明 1 1 1 9 9 9 1 10 \frac{1}{10} 10 1 c c c 10 10 10
3.4. 圆周率是否是 Simply Normal Number？# 据前文所属，如果 π \pi π π \pi π π \pi π
但是我们可以做一个小实验看一下 π \pi π n n n
代码如下（后续有机会我会介绍这个算法，参考《数值计算方法》）：
附录 A. 计算 pi 的前 n 位小数分布的 Python 代码
运行结果如下：
4. 观点四：圆周率无穷无尽是因为目前算力不足# 如果说观点二让我觉得“Not Even Wrong”，那么观点四就无语到让我都没法说是“Not Even Wrong”了，当然，我们并不能苛求普通人能够自主证明 π \pi π π \pi π
4.1. 证明步骤 1：证明非零有理数正切值都是无理数# 如果已知 tan x \tan x tan x 后文 给出，在本节中请默认为真）为：
tan x = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋱ \tan x = \frac{x}{1 - \frac{x^2}{3 - \frac{x^2}{5 - \frac{x^2}{7 - \ddots}}}} tan x = 1 − 3 − 5 − 7 − ⋱ x 2 x 2 x 2 x 如果有理数 x = p q x = \frac{p}{q} x = q p
tan p q = p q − p 2 3 q − p 2 5 q − p 2 7 q − ⋱ \tan \frac{p}{q} = \frac{p}{q - \frac{p^2}{3q - \frac{p^2}{5q - \frac{p^2}{7q - \ddots}}}} tan q p = q − 3 q − 5 q − 7 q − ⋱ p 2 p 2 p 2 p 令 f k = p 2 k q − p 2 ( k + 2 ) q − p 2 ( k + 4 ) q − ⋱ f_k = \frac{p^2}{kq - \frac{p^2}{(k + 2)q - \frac{p^2}{(k + 4)q - \ddots}}} f k = k q − ( k + 2 ) q − ( k + 4 ) q − ⋱ p 2 p 2 p 2 tan p q = p q − p 2 3 q − p 2 5 q − ⋱ p 2 ( k − 2 ) q − f k \tan \frac{p}{q} = \frac{p}{q - \frac{p^2}{3q - \frac{p^2}{5q - \ddots \frac{p^2}{(k - 2)q - f_k}}}} tan q p = q − 3 q − 5 q − ⋱ ( k − 2 ) q − f k p 2 p 2 p 2 p
不难发现，当 k k k 0 < f k < 1 0 < f_k < 1 0 < f k < 1 0 < f k < 1 0 < f_k < 1 0 < f k < 1 k k k k 0 k_0 k 0 f k f_k f k tan p q \tan \frac{p}{q} tan q p f k f_k f k
接下来我们使用反证法，反设 f k f_k f k B A \frac{B}{A} A B B > A > 0 B > A > 0 B > A > 0
B A = f k = p 2 k q − p 2 ( k + 2 ) q − p 2 ( k + 4 ) q − ⋱ = p 2 k q − f k + 2 \frac{B}{A} = f_k = \frac{p^2}{kq - \frac{p^2}{(k + 2)q - \frac{p^2}{(k + 4)q - \ddots}}} = \frac{p^2}{kq - f_{k+2}} A B = f k = k q − ( k + 2 ) q − ( k + 4 ) q − ⋱ p 2 p 2 p 2 = k q − f k + 2 p 2 化简得到：
f k + 2 = B k q − A p 2 B f_{k+2} = \frac{Bkq - Ap^2}{B} f k + 2 = B B k q − A p 2 0 < f k + 2 < 1 0 < f_{k+2} < 1 0 < f k + 2 < 1 f k + 2 f_{k+2} f k + 2 C = B k q − A p 2 C = Bkq - Ap^2 C = B k q − A p 2 f k + 2 = C B f_{k+2} = \frac{C}{B} f k + 2 = B C A > B > C > 0 A > B > C > 0 A > B > C > 0 A > B > C > D > ⋯ > 0 A > B > C > D > \cdots > 0 A > B > C > D > ⋯ > 0 1 1 1 A A A f k f_k f k tan p q \tan \frac{p}{q} tan q p
4.2. 证明步骤 2：证明圆周率是无理数# 由于在 1.4.1 节中，我们已经证明了，如果 x x x tan x \tan x tan x tan π 4 = 1 \tan \frac{\pi}{4} = 1 tan 4 π = 1 π 4 \frac{\pi}{4} 4 π π = 4 × π 4 \pi = 4 \times \frac{\pi}{4} π = 4 × 4 π π \pi π
这条证明思路最早由 Lambert 在 1768 年提出。
4.3. 补充 1：连分数展开的推导# TIP 受限于篇幅和阅读成本，这部分证明是不严谨的，仅作为参考，其收敛域不做讨论，尽管要在证明中用到实际上是需要说明收敛域的。此外，这里给出的 sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x
首先，给出几个泰勒展开式：
{ sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i + 1 ( 2 i + 1 ) ! cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i ) ! sin x x = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! \begin{cases}
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i + 1}}{(2i + 1)!} \\
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i)!} \\
\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!}
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ sin x = x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + ⋯ = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i + 1 cos x = 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 + ⋯ = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i )! x 2 i x s i n x = 1 − 3 ! x 2 + 5 ! x 4 − 7 ! x 6 + ⋯ = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i 于是，有：
tan x = x cos x sin x x = x ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i ) ! ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! \tan x = \frac{x}{\frac{\cos x}{\frac{\sin x}{x}}} = \frac{x}{\frac{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i)!}}{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!}}} tan x = x s i n x c o s x x = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i )! x 2 i x 记：P 1 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i ) ! P_1(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i)!} P 1 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i )! x 2 i Q 1 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! Q_1(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!} Q 1 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i P k ( x ) Q k ( x ) = P k ( 0 ) Q k ( 0 ) + x 2 P k + 1 ( x ) Q k + 1 ( x ) \frac{P_k(x)}{Q_{k}(x)} = \frac{P_k(0)}{Q_k(0)} + \frac{x^2}{\frac{P_{k + 1}(x)}{Q_{k + 1}(x)}} Q k ( x ) P k ( x ) = Q k ( 0 ) P k ( 0 ) + Q k + 1 ( x ) P k + 1 ( x ) x 2 λ k = P k ( 0 ) Q k ( 0 ) \lambda_{k} = \frac{P_k(0)}{Q_k(0)} λ k = Q k ( 0 ) P k ( 0 )
{ P k + 1 ( x ) = Q k ( x ) Q k + 1 ( x ) = P k ( x ) − λ k Q k ( x ) x 2 λ k = P k ( 0 ) Q k ( 0 ) P 1 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i ) ! Q 1 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! \begin{cases}
P_{k + 1}(x) = Q_k(x) \\
Q_{k + 1}(x) = \frac{P_k(x) - \lambda_k Q_k(x)}{x^2} \\
\lambda_{k} = \frac{P_k(0)}{Q_k(0)} \\
P_1(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i)!} \\
Q_1(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!}
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ P k + 1 ( x ) = Q k ( x ) Q k + 1 ( x ) = x 2 P k ( x ) − λ k Q k ( x ) λ k = Q k ( 0 ) P k ( 0 ) P 1 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i )! x 2 i Q 1 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i P 1 ( x ) Q 1 ( x ) − 1 = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i [ 1 ( 2 i ) ! − 1 ( 2 i + 1 ) ! ] ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! = ∑ i = 1 ∞ ( − 1 ) i x 2 i 2 i ( 2 i + 1 ) ! ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! = x 2 ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) ( i + 1 ) x 2 i 2 i + 2 ( 2 i + 3 ) ! ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! = x 2 ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) ( i + 1 ) x 2 i 2 i + 2 ( 2 i + 3 ) ! \begin{aligned}
\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} - 1 &= \frac{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i x^{2i} [\frac{1}{(2i)!} - \frac{1}{(2i + 1)!}]}{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!}} \\
&= \frac{\sum\limits_{i=1}^{\infty} (-1)^i x^{2i} \frac{2i}{(2i + 1)!}}{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!}} \\
&= x^2 \frac{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{(i + 1)} x^{2i} \frac{2i + 2}{(2i + 3)!}}{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!}} \\
&= \frac{x^2}{\frac{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!}}{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{(i + 1)} x^{2i} \frac{2i + 2}{(2i + 3)!}}}
\end{aligned} Q 1 ( x ) P 1 ( x ) − 1 = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i x 2 i [ ( 2 i )! 1 − ( 2 i + 1 )! 1 ] = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i i = 1 ∑ ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 )! 2 i = x 2 i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) ( i + 1 ) x 2 i ( 2 i + 3 )! 2 i + 2 = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) ( i + 1 ) x 2 i ( 2 i + 3 )! 2 i + 2 i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i x 2 故 P 2 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i x 2 i ( 2 i + 1 ) ! P_2(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \frac{x^{2i}}{(2i + 1)!} P 2 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 )! x 2 i Q 2 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) ( i + 1 ) x 2 i 2 i + 2 ( 2 i + 3 ) ! Q_2(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{(i + 1)} x^{2i} \frac{2i + 2}{(2i + 3)!} Q 2 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) ( i + 1 ) x 2 i ( 2 i + 3 )! 2 i + 2 λ 1 = 1 \lambda_1 = 1 λ 1 = 1 λ 2 = − 3 \lambda_2 = -3 λ 2 = − 3
归纳假设：
{ P 2 m ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + m − 1 ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m − 4 ) ( 2 i + 4 m − 3 ) ! x 2 i Q 2 m ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + m ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m − 2 ) ( 2 i + 4 m − 1 ) ! x 2 i λ 2 m = − ( 4 m − 1 ) P 2 m + 1 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + m ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m − 2 ) ( 2 i + 4 m − 1 ) ! x 2 i Q 2 m + 1 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + m ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m ) ( 2 i + 4 m + 1 ) ! x 2 i λ 2 m + 1 = 4 m + 1 \begin{cases}
P_{2m}(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + m - 1} \frac{(2i + 2)(2i + 4)\ldots(2i + 4m - 4)}{(2i + 4m - 3)!} x^{2i} \\
Q_{2m}(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + m} \frac{(2i + 2)(2i + 4)\ldots(2i + 4m - 2)}{(2i + 4m - 1)!} x^{2i} \\
\lambda_{2m} = -(4m - 1) \\
P_{2m + 1}(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + m} \frac{(2i + 2)(2i + 4)\ldots(2i + 4m - 2)}{(2i + 4m - 1)!} x^{2i} \\
Q_{2m + 1}(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + m} \frac{(2i + 2)(2i + 4)\ldots(2i + 4m)}{(2i + 4m + 1)!} x^{2i} \\
\lambda_{2m + 1} = 4m + 1
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ P 2 m ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + m − 1 ( 2 i + 4 m − 3 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m − 4 ) x 2 i Q 2 m ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + m ( 2 i + 4 m − 1 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m − 2 ) x 2 i λ 2 m = − ( 4 m − 1 ) P 2 m + 1 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + m ( 2 i + 4 m − 1 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m − 2 ) x 2 i Q 2 m + 1 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + m ( 2 i + 4 m + 1 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 m ) x 2 i λ 2 m + 1 = 4 m + 1 那么，有：
P 2 k + 2 ( x ) = Q 2 k + 1 ( x ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + k ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 k ) ( 2 i + 4 k + 1 ) ! x 2 i P_{2k + 2}(x) = Q_{2k + 1}(x) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + k} \frac{(2i + 2)(2i + 4)\ldots(2i + 4k)}{(2i + 4k + 1)!} x^{2i} P 2 k + 2 ( x ) = Q 2 k + 1 ( x ) = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + k ( 2 i + 4 k + 1 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 k ) x 2 i Q 2 k + 2 ( x ) = P 2 k + 1 ( x ) − λ k Q 2 k + 1 ( x ) x 2 = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + k ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 k − 2 ) ( 2 i + 4 k − 1 ) ! x 2 i [ 1 − ( 4 k + 1 ) ( 2 i + 4 k ) ( 2 i + 4 k ) ( 2 i + 4 k + 1 ) ] x 2 = ∑ i = 1 ∞ ( − 1 ) i + k ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 k − 2 ) ( 2 i + 4 k − 1 ) ! x 2 i 2 i 2 i + 4 k + 1 x 2 = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + k + 1 ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) ( 2 i + 6 ) … ( 2 i + 4 k ) ( 2 i + 4 k + 1 ) ! x 2 i 1 2 i + 4 k + 3 = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i + k + 1 ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) ( 2 i + 6 ) … ( 2 i + 4 k + 2 ) ( 2 i + 4 k + 3 ) ! x 2 i \begin{aligned}
Q_{2k + 2}(x) &= \frac{P_{2k + 1}(x) - \lambda_k Q_{2k+ 1}(x)}{x^2} \\
&= \frac{\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + k} \frac{(2i + 2)(2i + 4)\ldots(2i + 4k - 2)}{(2i + 4k - 1)!} x^{2i} [1 - \frac{(4k + 1)(2i + 4k)}{(2i + 4k)(2i + 4k + 1)}]}{x^2} \\
&= \frac{\sum\limits_{i=1}^{\infty} (-1)^{i + k} \frac{(2i + 2)(2i + 4)\ldots(2i + 4k - 2)}{(2i + 4k - 1)!} x^{2i} \frac{2i}{2i + 4k + 1}}{x^2} \\
&= \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + k + 1} \frac{(2i + 2)(2i + 4)(2i + 6)\ldots(2i + 4k)}{(2i + 4k + 1)!} x^{2i} \frac{1}{2i + 4k + 3} \\
&= \sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i + k + 1} \frac{(2i + 2)(2i + 4)(2i + 6)\ldots(2i + 4k + 2)}{(2i + 4k + 3)!} x^{2i}
\end{aligned} Q 2 k + 2 ( x ) = x 2 P 2 k + 1 ( x ) − λ k Q 2 k + 1 ( x ) = x 2 i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + k ( 2 i + 4 k − 1 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 k − 2 ) x 2 i [ 1 − ( 2 i + 4 k ) ( 2 i + 4 k + 1 ) ( 4 k + 1 ) ( 2 i + 4 k ) ] = x 2 i = 1 ∑ ∞ ( − 1 ) i + k ( 2 i + 4 k − 1 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) … ( 2 i + 4 k − 2 ) x 2 i 2 i + 4 k + 1 2 i = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + k + 1 ( 2 i + 4 k + 1 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) ( 2 i + 6 ) … ( 2 i + 4 k ) x 2 i 2 i + 4 k + 3 1 = i = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) i + k + 1 ( 2 i + 4 k + 3 )! ( 2 i + 2 ) ( 2 i + 4 ) ( 2 i + 6 ) … ( 2 i + 4 k + 2 ) x 2 i P 2 k + 3 P_{2k + 3} P 2 k + 3 Q 2 k + 3 Q_{2k + 3} Q 2 k + 3
因此：
tan x = x P 1 ( x ) Q 1 ( x ) = x λ 1 + x 2 P 2 ( x ) Q 2 ( x ) = x λ 1 + x 2 λ 2 + x 2 P 3 ( x ) Q 3 ( x ) = ⋯ = x λ 1 + x 2 λ 2 + x 2 λ 3 + ⋯ = x 1 + x 2 − 3 + x 2 5 + x 2 − 7 + ⋯ = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋯ \begin{aligned}
\tan x &= \frac{x}{\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}} \\
&= \frac{x}{\lambda_1 + \frac{x^2}{\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}}} \\
&= \frac{x}{\lambda_1 + \frac{x^2}{\lambda_2 + \frac{x^2}{\frac{P_3(x)}{Q_3(x)}}}} \\
&= \cdots \\
&= \frac{x}{\lambda_1 + \frac{x^2}{\lambda_2 + \frac{x^2}{\lambda_3 + \cdots}}} \\
&= \frac{x}{1 + \frac{x^2}{-3 + \frac{x^2}{5 + \frac{x^2}{-7 + \cdots}}}} \\
&= \frac{x}{1 - \frac{x^2}{3 - \frac{x^2}{5 - \frac{x^2}{7 - \cdots}}}} \\
\end{aligned} tan x = Q 1 ( x ) P 1 ( x ) x = λ 1 + Q 2 ( x ) P 2 ( x ) x 2 x = λ 1 + λ 2 + Q 3 ( x ) P 3 ( x ) x 2 x 2 x = ⋯ = λ 1 + λ 2 + λ 3 + ⋯ x 2 x 2 x = 1 + − 3 + 5 + − 7 + ⋯ x 2 x 2 x 2 x = 1 − 3 − 5 − 7 − ⋯ x 2 x 2 x 2 x 于是，我们得到了 tan x \tan x tan x
附录 A. 计算 pi 的前 n 位小数分布的 Python 代码# from collections import Counter
from typing import Dict, List, Tuple
import matplotlib.pyplot as plt
def compute_pi (n_digits: int ) -> str :
n_terms = ceil(n_digits / digits_per_term)
mpmath.mp.dps = n_digits + 2 # 设置浮点精度防止舍入误差
C = 426880 * mpmath.sqrt( 10005 )
numerator = ( - 1 ) ** k * mpmath.factorial( 6 * k) * ( 13591409 + 545140134 * k)
mpmath.factorial( 3 * k) * (mpmath.factorial(k) ** 3 ) * ( 640320 ** ( 3 * k))
sum_term += numerator / denominator
return str (pi_val)[: 2 + n_digits]
def digit_frequency_over_k (
pi_str: str , step: int = 1000
) -> Tuple[List[ int ], Dict[ str , List[ float ]]]:
pi_digits = pi_str.replace( "." , "" )
freq_dict = { str (i): [] for i in range ( 10 )}
for k in range (step, len (pi_digits) + 1 , step):
counter = Counter(pi_digits[:k])
freq_dict[ str (d)].append(counter[ str (d)] / k)
if __name__ == "__main__" :
pi_digits = compute_pi(n)
k_list, freq_dict = digit_frequency_over_k(pi_digits, step)
# 跳过前 100 位频率波动过大的区域让图像容易观察
k_plot = k_list[start_index:]
freq_plot = {d: freq_dict[d][start_index:] for d in freq_dict}
plt.figure( figsize = ( 12 , 6 ))
plt.plot(k_plot, freq_plot[ str (d)], label = f "Digit { d } " )
plt.xlabel( "Number of digits" )
plt.title( "Digit frequency of π for first k digits (after first 100 digits)" )
